Tolydi funkcija

Funkcija g tolydi visame intervale, funkcija f – netolydi

Funkcija $f(x)$ vadinama tolydžia intervale (a; b), jei kiekviename intervalo taške galioja lygybė:

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0}).$

Be šio, naudojami ir kiti tolydumo apibrėžimai:

• $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0,$
• Jei $\forall \varepsilon >0\;\exists \delta (\varepsilon )>0:|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Visi trys pateikti apibrėžimai savo prasme yra lygiaverčiai.

Paprastesniais terminais, funkcija yra tolydi, jei labai mažus argumento pokyčius atitinka labai maži funkcijos reikšmės pokyčiai. Tokių funkcijų grafikai yra tolygios kreivės, be staigių šuolių bei trūkių. Intervalas, kuriame funkcija yra tolydi, vadinamas funkcijos tolydumo intervalu.

Beveik visos pagrindinės funkcijos yra tolydžios: trigonometrinės, daugianariai, logaritmai ir t. t. Pavyzdžiui, įrodysime, kad natūrinis logaritmas yra tolydi funkcija, pasiremdami antru apibrėžimu:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left(\ln(x+\Delta x)-\ln(x)\right)=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\ln \left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\ln \left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right),=\ln \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)\$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=\ln 1=0.$

Tolydžių funkcijų savybės

• Jei funkcija intervalo galuose įgyja skirtingų ženklų reikšmes, tai egzistuoja taškas šiame intervale, kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui. Grafiškai tai reiškia, kad kreivė, kurios galai yra skirtingose ašies pusėse, kažkuriame taške tą ašį kerta.

• Jei funkcija intervalo galuose įgyja skirtingas reikšmes A ir B, tai tame intervale funkcija įgyja ir visas tarpines vertes tarp A ir B.

• Tolydi funkcija uždarame intervale yra aprėžta, t. y. egzistuoja toks $M>0$, kad $|f(x)|<M$. Grafiškai tai reiškia, kad uždarame intervale funkcijos grafikas turi savo didžiausią ir mažiausią vertes.

Šias savybes galima lengvai įsivaizduoti, turint omeny, kad tolydžios funkcijos grafikas yra tolygi kreivė, nedaranti staigių šuolių.